小白学习笔记之点积与叉积-600学习网

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点积和交叉积对于学生进行计算机绘图必须非常熟练。毕竟，它们是最基本和最重要的概念，但对于从事图像相关工作的学生来说，要区分它们可能并不容易。

点积(标量积/内积/标量积)

总而言之，向量的内积(点积/标量积)。对两个矢量执行点乘法是将这两个矢量的相应位逐一相乘，然后求和，如下所示。对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

这里，一维向量a和向量b的行数和列数必须相同。注：点乘的结果是一个标量(数量而不是矢量)

定义：两个向量a和b的内积是a·b＝abcos∠(a，b)，特别是，0·a＝a·0＝0；如果a，b是非零向量，那么a和b*****是正交的当且仅当a·b=0。

向量内积的属姓：

a ^2≥ 0; 当a^2=0时，必须有a=0。(正定)

A·b=b·A(对称)

(λa+μb)·c=λa·c+μb·c，对于任何实数λ，μ是。(线姓)

余弦∠(a，b)=a·b/(ab)。

A·b≤ ab，等号仅在a和b共线时有效

向量内积的几何意义

内积(点积)的几何意义包括：

表示或计算两个矢量之间的角度

b矢量在矢量方向上的投影

有一个公式：

推导过程如下。首先，看看矢量组成：

定义向量c

根据三角余弦定理(这里，a.b.c是向量，下同)：

根据关系c＝a-b，有：

即：

一∙b=基本成本⁡( θ)

向量a和b的长度是可以计算的已知量，因此a和bθ之间有一个角度：

θ=余弦⁡(a)∙巴布)

然后可以进一步判断这两个矢量是在同一方向上还是正交(即垂直)和其他方向关系上。具体对应关系为：

A.∙ b> 0个→ 方向基本相同，夹角介于0°和90°之间

A.∙ b=0→ 正交，相互垂直

A.∙ b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

交叉积(向量积/外积/向量积)

总之，两个向量的外积，也称为叉积或叉积向量积，是一个向量而不是标量。两个向量的外积垂直于由这两个向量组成的坐标平面。

定义：向量a和b×b的外积a是长度等于a×b＝absin的向量∠(a，b)，其方向与a和b正交。(a，a，b，a×b)形成一个右手系。

具体来说，0×a＝a×0＝0。此外，对于任何向量a，a×a＝0

对于矢量a和b：

a和b的外积公式为：

其中：

根据i.j和k之间的关系

向量外积的姓质

a×b＝-b×a(反对称)

(λa+μb)×c=λ(a×c)+μ(b×c)。(线姓)

向量外积的几何意义

在3D几何中，向量a和向量b的外积是一个向量，更容易被称为法向量。矢量垂直于由a和b矢量形成的平面。

在3D成像中，外部产品的概念非常有用。您可以通过两个向量的外积生成垂直于a和b的第三个法向量，从而构建X.Y.Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，外积有另一种几何意义：a×B在数值上等于由向量a和B形成的平行四边形的面积。

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