小白学习笔记之齐次坐标-600学习网

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简而言之，齐次坐标可以通过添加额外的维度W来方便地缩放.旋转.平移和透视几何的矩阵变换。

齐次坐标

它是使用n+1维向量来表示最初为n维的向量。许多图形应用程序涉及几何变换，包括平移.旋转和缩放。当用矩阵表达式计算这些变换时，平移是矩阵加法，旋转和缩放是矩阵乘法，可以表示为X＝R*X+t(R旋转缩放矩阵，t是平移矩阵，X是原始向量，X是变换向量)。

引入齐次坐标的目的是在矩阵运算中合并乘法和加法，以X＝P*X的形式表示(也就是说，它提供了一种通过矩阵运算将二维.三维甚至高维空间中的点集从一个坐标系转换到另一个坐标系统的有效方法)。

如果(x，y，z)是一个点，它就变成(x，y，z，1)；

如果(x，y，z)是一个向量，它就变成(x，y，z，0)

同质坐标允许平移.旋转.缩放和透视投影表示为矩阵和矢量乘法的一般矢量运算。根据链式规则，这种操作的任何序列都可以乘以单个矩阵，从而实现简单有效的处理。相反，如果使用笛卡尔坐标，平移和透视投影不能表示为矩阵乘法，尽管其他操作可以。

二维点(x，y)的齐次坐标表示为(hx，hy，h)。可以看出，向量的齐次表示不是唯一的，齐次坐标的不同h值表示同一点；给定点的齐次表达式[X Y H]，可以获得其二维笛卡尔坐标，即：

这个过程称为标准化。

在几何意义上，它等价于将三维空间中的变换限制在H＝1的平面上。

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一。它可以用来清楚地区分矢量和点，也更容易用于仿射(线姓)几何变换。”-F.S.Hill，JR

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