在三维空间中表示平面和直线-600学习网

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平面和直线是三维计算机视觉和计算机图形中有用的几何实体。将它们表示为一组点是低效的，这可能会导致大量内存需求，具体取决于用于生成点的步长。

在本文中，我将讨论如何使用向量方程来表示平面和直线。我还将向您展示如何使用向量形式找到直线和平面之间的交点。

3D线条

我们可以使用下面的等式[1]以向量形式表示直线。

p＝1₀ ＋ l＊＊d，＊＊d∈ R

式中，I是表示直线方向的向量，l₀ 是直线上的点，d是标量。

P是直线上的一般点，它定义了直线。因此，为了定义一条线，我们只需要知道6个数字/参数，然后我们就可以完全用矢量形式表达它。

我创建了一个类来表示线向量并绘制它。它由一个向量和一个point_on_line参数化，这两个向量都是3x1numpy列向量。

为了在一条线上得到一个点，我们可以使用这个方程。通过缩放矢量来更改d。

我将展示一些示例线。

矢量(1，1，1)点(0，0，0)；

如果你想要一条横过二维平面的线，你可以使用一个在两个坐标中只有非零值的向量，你会在二维平面上得到一条线。矢量(1，1，0)点(0，0，0)：

3D平面

我们可以用下面的等式来表示矢量形式的平面。

(p-p₀) * n=0，其中n是平面的法向(垂直)矢量，p₀ 是平面上的点。

上述方程中所有点p的轨迹定义了平面。(p-**p₀) * * n表示平面的正交向量或法向量。因此，对于平面上所有点p的矢量，两个正交矢量的点积将为零。

用六个数字表示一架飞机是非常优雅的！

下面是上面在Python中定义的平面类。

接下来，让我们看看如何找到直线和平面的交点。

三维中点与平面的交点

现在我们知道了如何在3D中表示点和平面，我们可以看到如何找到这两个几何图形之间的交点。

如果一条线在点p处与平面相交，它将同时满足直线和平面方程。因此，为了找到交点，将p的值从线姓方程代入平面方程。

((＊＊l)₀ ＋ l＊＊＊d)-p₀) ＊ n＝0

展开这些项可得出以下等式。

(l＊n)d＋(l₀ — p₀) ＊ n＝0

求解d得到：

d＝(p₀ — 我的意思是₀) ＊ n／(l＊n)

这将我们返回到位于直线和平面上的点。

有三种情况。

首先，直线与平面平行，但直线不在平面内。

接下来是一个交点。

最后，直线与平面平行且在平面内，在这种情况下，直线上的每个点也将在平面内。因此，在这种情况下，将有无限多的点同时满足这两个方程。

对于前两种情况，l*n=0，因为对于它们，I垂直于法向量n。否则，我们将得到一个实数d，它可以在线姓方程中替换以获得交点：

p＝1₀ ＋ l＊d

我已经为平面和直线类编写了一个函数，以根据上述等式计算交点。请注意，函数是相同的等式，唯一的区别是代码语法。类别行：

现在，我们可以使用平面和直线类来找到它们之间的交点。例如：

我们可以使用Symphy验证结果：

我们还使用Symphy实现来验证我们的代码。

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